Números Enteros

Números Enteros

En la antigüedad no eran conocidos los números negativos, a estos lo llamaban “números deudos” o “números absurdos”, por tal razón los matemáticos de entonces no les gustaba usar estos números. Sin embargo, en el siglo VI los hindúes llegaron a usarlos de un modo practico, pero sin definirlos. Es a partir de siglo XVIII que fue corriente el uso de los números negativos que se incorporaron a los positivos, conformando así el conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos, y se representan por Z= {… -3,-2,-1,0,1,2,3…}. En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda de cero y los positivos a su derecha.

Comparación de Números Enteros.

El signo >significa "mayor que". Ejemplo: 8 > 1                                                                

El Signo < significa "menor que". Ejemplo: 23 < 42

De dos números positivos es mayor el más alejado del 0.  Ejemplo: 8 > 2.          

De los números negativos es mayor el más próximo al  0. Ejemplo: -3 > -10. Cualquier número positivo es mayor que otro negativo. Ejemplo: 1 > -3.                 

El 0 es menor que cualquier número positivo y mayor que cualquier número negativos. Ejemplo: 20 > 0 > -3.

Valor Absoluto.

Se denomina valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre dicho número y el cero en la recta numerica. 

Ejemplo: El valor absoluto de -3 es igual a 3 y se escribe |– 3| = 3. El valor absoluto de 5 es 5 y se escribe | 5 | = 5.

Números Opuestos.

Son números que están a igual distancia del cero, pero en sentido contrario en la recta numérica.

Ejemplo 1. El opuesto de 4 es -4 

Ejemplo 2. El opuesto de -6 es 6

Propiedades de los números enteros.

En los números enteros  se definen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación .

Propiedades de la Adición de Números Enteros.

1.    Interna. La suma de dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo: -25 + 3 = -22

2.    Asociativa. Si a, b, c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c).

Ejemplo:

(-7+ 5) -8 = -7 + (5 -8)

= -2-8 = -7+(-3)

= -10 =-10     

3.    Conmutativa.  Sí a, b son números enteros cualesquiera, se cumple que: 

a + b = b +a.

Ejemplo: 45 + (-15) = -15 +45 = 30

4.    Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma o adición, cualquiera que sea el número entero a, se cumple que: a + 0 = a

Ejemplo: - 9 + 0 = -9

Propiedades de la Multiplicación de Número Enteros.

1.    Interna. Si multiplicamos dos números enteros el resultado es otro número entero.

Ejemplo: 22 x -3 = -66.

2.    Asociativa. Si a, b, c son números enteros cualesquiera se cumplen que:

(a · b) · c = a · (b · c)          

Ejemplo:

(12 x 5) x -3 = 12 (5 x -3)

=60 x -3 = 12 x -15

=-180 = -180

1.    Conmutativa. Sí a, b son números enteros cualesquiera se cumplen que:                a x b=b x a.

Ejemplo: -20 x 5 = 5 x -20 = -100

2.    Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número entero a, se cumple que: a x 1 =a.

Ejemplo: 24 x 1 = 24

3.    Distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Si a, b, c son números enteros cualesquiera se cumplen que: a · (b + c) = a · b + a · c. Ejemplo: 14 x (-3 + 6) = 14 x -3 +14 x 6

14 x 3 = - 42+ 84

42 = 42

Operaciones con números enteros

Suma

Para sumar dos números enteros con el mismo signo se suman sus valores absolutos y se le coloca el mismo signo.                                                                           Ejemplo 1:

(-61) + (-3) = -64   

Ejemplo 2:

7 + 10 = 17                                                                                           

Para sumar dos números enteros con distinto signo se restan sus valores absolutos y se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.                                             Ejemplo 3.

(-25) + (+5) = -20   

Ejemplo 4.

14+ (-2) = 12

Resta

Para restar números enteros se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Ejemplo 1:

( -25) – (100) = -25 +(-100) = -125

Ejemplo 2:

(180) –(-70) = 180 + 70 = 150

Multiplicación

Para multiplicar o dividir números enteros del mismo signo se multiplican o se dividen y al resultado se le coloca el signo positivo.

Ejemplo 1: 

21 x 2= 42      

Ejemplo 2:

(-30) x (-5) = 150

Ejemplo 3:

 24:2=12           

Ejemplo 4:

-60:-5 = 12

Para multiplicar o dividir números enteros de diferente signo se multiplican o se dividen y al resultado se le coloca el signo negativo

Ejemplo 1:

  20 x -2= - 40     

Ejemplo 2:

(-30) x (5) = -150

Ejercicios Resueltos.

Hallar el valor absoluto de:

1.    |– 6| = 6

2.    |–5|= 5

3.    |– 2|= 2

4.|1o|= 10

Hallar el resultado de las siguientes operaciones

1.    |– 8| + |– 2|= 8+2= 10

2.    (-25) + (80) = 55

3.    110 + (-200) = -90

4.    (-52) + (-10) + (-42) =-104

5.    104 + 20 =124

6.    100 - (-100) = 100 + 100 = 200

7.    (-85) - (25) = -85 + (-25) = -110

8.    25 X -5 = -125

9.    14 X2 =28

10. 25/-5 = -5

11. -70/-7= 10

Ejercicios propuestos.

  Halla el valor absoluto

1.    |6| =

2.    |–30|=

3.    - |– 20|=

Halla el resultado de las siguientes operaciones 

1.   |– 45| + |– 20|=

2.   (-35) + (85) =

3.   (-520) + (-110) + (-40) =

4.   104 + 200+ 125=

5.   -150 - (-180) =

6.   (-85) - (-25) =

7.   -50/-5 =

8.   -700/-7=