Números Naturales

Números Naturales

 Desde la antigüedad los números naturales se definen como aquellos que sirven para contar. Este conjunto de números se representaba por: N = { 1, 2, 3, 4,…,}. Pero por la necesidad de expresar la ausencia de cantidad, los Mayas incorporaron el cero aproximadamente en el siglo V, siendo Peano, en la publicación de sus cinco axiomas, que contribuyó a que el cero sea agregado a dicho conjunto, por lo que la actual representación de los mismos es la siguiente: N = {0, 1, 2, 3, 4,…,}.

Representación gráfica de los números naturales

En los números naturales se definen las operaciones de adición y multiplicación, pues son  operaciones internas en dicho conjunto.

Propiedades de la Adición de Números Naturales.

a.    Interna: La suma de dos números naturales es otro número natural.

Ejemplo: 12 + 3 = 15   

b.   Asociativa: Si a, b y c son números naturales cualesquiera se cumplen que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo: (8 + 4) + 5 = 8 + (4 + 5) = 17     

c.    Conmutativa: Sí a y b son números naturales cualesquiera se cumplen que: 

a + b = b + a.

Ejemplo: 45 + 15 = 15 + 45 = 60

a.    Elemento neutro:  el 0 es el elemento neutro de la suma o adición, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a

Ejemplo: 9 + 0 =  9

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales.

a.    Interna:  Si multiplicamos dos números naturales el resultado es otro numero natural.

Ejemplo.   25 . 4 = 100.

b.   Asociativa: Si a, b y c son números naturales cualesquiera se cumplen que: (a . b) . c = a . (b . c)           

Ejemplo 1.   (13 . 5) . 3 = 13 (5 . 3) = 65 . 3 = 13 . 15 = 195

c.    Conmutativa: Si a y b son números naturales cualesquiera se cumple que: a.b=b.a.

Ejemplo:12 . 5 = 5 . 12 = 60

d.   Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a·1=a.1 =1.

Ejemplo.    24 . 1 =  24

e.   Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: Si a, b y c son números naturales cualesquiera se cumplen que: a . (b + c) = a . b + a . c

 Ejemplo 1.    11 . (3 + 2) = 11. 3 + 11. 2= 33 + 22 = 55
11 . 5 = 55 y 11 . 3 + 11 .2 = 55

La división y la resta no cumplen con estas propiedades porque los resultados de esas operaciones no siempre será un número natural.

Operaciones combinadas

Ejemplo 1.    

10 − 5 + 5 + 2 − 6 + 8 − 2 =

Comenzando por la izquierda pues la suma y la resta tienen la misma jerarquía

10 − 5 + 5 + 2 − 6 + 8 − 2 = 12

Ejemplo 2.    

2 . 4 − 3 + 4 . 3 − 7 + 4 . 2 =

Realizamos primero las multiplicaciones pues es de mayor jerarquía que la suma y la resta.

2 . 4 − 3 + 4 . 3 − 7 + 4 . 2 = 8 – 3 + 12 – 7 + 8 

Ahora efectuamos las sumas y restas.

= 8 − 3 + 12 − 7 + 8 = 18

 Ejemplo 3. 

12 : 3 + 8 · 3 + 9 − 5 · 3 − 8 + 4 · 4 − 12 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes

12 : 3 + 8 · 3 + 9 − 5 · 3 − 8 + 4 · 4 − 12 : 4 esto es igual a 4+ 24 + 9 − 15 – 8 + 16 - 3

Efectuamos las sumas y restas.

= 4+ 24 + 9 − 15 – 8 + 16 - 3 = 27

Ejemplo 4.  

 2 (25 − 5) + 5 − ( 3 . 2) + ( 16 : 8) −5 + (6 − 2) = Realizamos primero los paréntesis.

2 . 20 + 5 - 6 + 2 – 5 + 4 Continuamos con la multiplicación 40 +5 – 6 +2 -5 + 4 

Y ahora sumamos y restamos según aparezca cada operación

40 +5 – 6 +2 -5 + 4 = 40

Realizar las siguientes operaciones:

a.    13 + 8 : 2 – 2

b.   (2 . 7 + 8 . 4) : 2 + 10 

                  

c.    14 + 27 : 9 – 3 + 12  

                  

d.   27 + 28 : (2 + 3 – 1)·3 - 10 

       

e.   3 . 4 – 15 : (5 – 2) + 6         

       

f.    8 – 6 : (4 –1) + 18: 2 · 3 + 10 – 2  

       

g.    9 : 3 + 80 : 40 + 6 : 2 – 3   

            

h.   18 +2 . 2 + 30 - (15 : 3) : (10:2)